【ポケGO】ピカチュウ1/500匹は色違い？

ポケモンには、色違いのポケモンというものが存在します。
ポケモンGOでは、500匹捕まえると1匹ほどの割合で色違いが出ると言われています。
では、ピカチュウを500匹捕まえたら少なくとも1匹は色違いに絶対会えるのか、考えてみようと思います。
ちょっと数学の話が出てきます。。。

私はコスチュームピカチュウの色違いは2体持っているのですが、普通のピカチュウは持っていません。。。
どのくらい捕まえれば、ゲットできるかなあと思って計算してみようと思います。
ちなみに500匹に1匹という割合は、通常で出現するポケモンをタップして捕獲した割合で、
レイドバトルやフィールドリサーチで出現する色違いの割合の方が高いそうです。
2進数的に考えると、1/512くらいに設定されているのでしょうかね？

さてさて本題ですが、いまからピカチュウを500匹捕まえようと思います。
そのうちの1匹以上のピカチュウは絶対に色違いになってくれるでしょうか。割合的には出てくれそうです！
この問題自体は、中学レベルの数学で解くことができると思います。

1匹捕獲したときの色違いの確率

まずは、1匹目。
1匹目で色違いが出てくる確率は当然ですが、 $\displaystyle \frac{1}{500} = 0.2\%$ となります。

反対に、色違いではない普通のピカチュウの割合はいくつになるでしょうか。
こちらも簡単です。500匹中499匹は普通のピカチュウなので、 $\displaystyle \frac{499}{500}$ ですね。

全ての確率を足しあわせた数が1であるとき、こんな関係に気づくことができるでしょうか。

$\displaystyle 1 - \frac{499}{500} = \frac{1}{500}$

つまり「1 - (色違いでない確率) = (色違いの確率)」ということになります。
この考え方は「 余事象 」ってやつですね。この余事象を使って計算していこうと思います。
1匹ではほとんど恩恵を受けられませんが、数が増えていくと恩恵を受けられます。

2匹捕獲したときの色違いの確率

2匹目以降では、やや複雑になります。 1匹目で色違いが出たかどうかを考慮する必要があります。

真面目に色違いの出てくる計算をすると、図の赤の値を全て計算して足しあわせなくてはなりません。
ちなみに計算し足し合わせると、

$\displaystyle \frac{1}{500} \times \frac{1}{500} + \frac{1}{500} \times \frac{499}{500} + \frac{499}{500} \times \frac{1}{500} = \frac{999}{250000}$

一方、 余事象を使うと足し算が出てこないうえに、緑の計算だけ で済みます。

$\displaystyle 1 - \left(\frac{499}{500} \times \frac{499}{500}\right) = 1 - \left(\frac{499}{500}\right)^2 = \frac{999}{250000} \fallingdotseq 0.4\%$

とっても簡単です！

3匹以上捕獲したときの色違いの確率

3匹目も計算していきましょう。
余事象を使うと、こちらも簡単に計算できます。

なお指数は、電卓の関数電卓モードで計算したり、Excelの関数を利用すると楽です。

$\displaystyle 1 - \left(\frac{499}{500}\right)^3 \fallingdotseq 0.6\%$

このまま500匹目を捕獲したときの色違いの計算をすると、

$\displaystyle 1 - \left(\frac{499}{500}\right)^{500} \fallingdotseq 63.25\%$

あれ、意外と少ない...？てか、絶対じゃないの？？
500匹捕まえても、1匹以上の色違いピカチュウに出会えるのは6割程度なんですね。。。
世知辛い世の中だなあ。。。